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Pythagoras (W3)

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What Is the Pythagorean Theorem?
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Die kürzesten Wörter, nämlich "Ja" und "Nein", erfordern das meiste Nachdenken.
(Pythagoras von Samos, griechischer Philosoph und Mathematiker, 580 - 500 v. Chr.)

1. Dialog-Was-ist-Philosophie Nr. 11:

Pythagoras, der Erfinder des Begriffs Philosophie, und, die traditionelle Art und Weise Philosophie zu definieren (Verfasst: 17.5.2008/ Status: L-Bl/ Lexikon: Philosophie, Pythagoras)

Pythagorean Theorem

Professor R. Smullyan in his book 5000 B.C. and Other Philosophical Fantasies tells of an experiment he ran in one of his geometry classes. He drew a right triangle on the board with squares on the hypotenuse and legs and observed the fact that the square on the hypotenuse had a larger area than either of the other two squares. Then he asked, "Suppose these three squares were made of beaten gold, and you were offered either the one large square or the two small squares. Which would you choose?" Interestingly enough, about half the class opted for the one large square and half for the two small squares. Both groups were equally amazed when told that it would make no difference.

The Pythagorean (or Pythagoras') Theorem is the statement that the sum of (the areas of) the two small squares equals (the area of) the big one.

In algebraic terms, a² + b² = c² where c is the hypotenuse while a and b are the legs of the triangle.

The theorem is of fundamental importance in Euclidean Geometry where it serves as a basis for the definition of distance between two points. It's so basic and well known that, I believe, anyone who took geometry classes in high school couldn't fail to remember it long after other math notions got thoroughly forgotten.

Below is a collection of 99 approaches to proving the theorem. Many of the proofs are accompanied by interactive Java illustrations.
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Satz von Pythagoras

Sphärisches Analogon zum Satz von Pythagoras

Pythagoras v.Samos (580-496vC)

pythagoras: gr. filosoof en wiskundige, omstr. -570/-497. Geocentrisch universum en ondersteld uitvinder van de Tafels van vermenigvuldiging en de stelling van Pythagoras (deze echter reeds door Babyloniërs toegepast: men bekomt een rechthoekige driehoek met bvb. zijden 3, 4, en 5).

Pythagoras, griechischer Philosoph (um 580 - 496 v.Chr.)

Pythagoras gründete um 532 v.Chr. in Croton, Unteritalien, den Bund der Pythagoreer. Es handelte sich dabei um eine orphische Gemeinschaft mit wissenschaftlichen, religiösen, ethischen und auch politischen Zielen (Reform der Gesellschaft). Ihre Einmischung in die Politik führte zur Verfolgung und letztlich zur gewaltsamen Zerschlagung der Pythagoreer um die Mitte des 5. Jahrhunderts v.Chr.

Der Hauptbestandteil der Lehre des Pythagoras war die Ansicht, dass die Zahl das Wesen aller Dinge sei und letztlich alles Sein und jede Realität auf Zahlenverhältnisse reduziert werden könne. Diese Theorie wurde später auch auf die Musik, die Geometrie und die Astronomie angewandt. In der Musik soll Pythagoras die Intervalle Quinte, Quarte und Oktave erfunden haben, was sich jedoch ebensowenig erhärten lässt wie seine Urheberschaft des so genannten Lehrsatzes des Pythagoras. Er fand jedoch heraus, dass die Erde sich um ihre Achse dreht, und erkannte darin die Ursache für Tag und Nacht.
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Pythagoras - Die Summe der beiden Kathetenquadrate ist flächengleich mit dem Quadrat über der Hypotenuse. a² + b² = c² Der wohl berühmteste Satz der Mathematik wurde vom Griechen Pythagoras von Samos entwickelt. Tauchen Sie ein in die faszinierende Welt der Mathematik. Detailansicht

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März 2008: Vor über 2500 Jahren lebte PYTHAGORAS VON SAMOS (580 - 500 v. Chr.)

Den Satz des PYTHAGORAS kennt (fast) jeder, aber eigentlich weiß man nur sehr wenig über die Person, deren Namen der berühmte Satz trägt. Von ihm sind keine Schriften überliefert; auch andere Quellen aus dieser Zeit fehlen. Berichte über sein Leben wurden erst Jahrzehnte nach seinem Tod verfasst - u. a. von HERODOT (484 - 424 v. Chr.) und von ARISTOTELES (384 - 322 v. Chr.) - und die meisten Legenden entstanden erst Jahrhunderte später. In vielen Darstellungen wird PYTHAGORAS vor allem als Philosoph und religiöser Prophet beschrieben, weniger als Mathematiker. Oft ist in den Überlieferungen auch nur von den „Pythagoreern“ die Rede, also der „Schule“ des PYTHAGORAS, sodass man nicht genau weiß, was von PYTHAGORAS selbst stammt und was von seinen Schülern.

Ob PYTHAGORAS der Sohn eines Gemmenschneiders war oder eines Kaufmanns, ist ebenso unklar wie der Zeitpunkt und die Dauer seiner Reisen nach Phönizien, Ägypten und Mesopotamien. Vermutlich lernte er THALES VON MILET (624 - 547 v. Chr.) persönlich kennen - die Insel Samos liegt unmittelbar vor der kleinasiatischen Küste; dessen Schüler ANAXIMANDER (611 - 546 v. Chr.) war möglicherweise sein Lehrer. Ob die sogenannten Harpedonapten (Seilspanner) in Ägypten und Mesopotamien den nach ihm benannten Satz bereits mehr als 1000 Jahre vor PYTHAGORAS angewandten, ist unklar. Wir können jedoch davon ausgehen, dass PYTHAGORAS das Wissen über diese aus der Praxis stammende Regel von dort nach Griechenland brachte. Sein Verdienst ist es, dass er „die Mathematik von diesen praktischen Anwendungen befreite“ - Mathematik wurde betrieben, „um dem Göttlichen näher zu kommen“ (B. L. VAN DER WAERDEN).
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Pythagoras of Samos (about 569 BC - about 475 BC)

Pythagoras was a Greek philosopher who made important developments in mathematics, astronomy, and the theory of music. The theorem now known as Pythagoras's theorem was known to the Babylonians 1000 years earlier but he may have been the first to prove it.
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Pythagoras (circa 580 - 500 B.C.) was a native of the Aegean Island of Samos and founded a school in southern Italy. This school, now called the Pythagoreans, was a secret society and would most likely be label as a cult today. The symbol of the Pythagoreans was a pentagram star.
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Who was Pythagoras of Samos?

pythagoreisch

Ein Pythagoreisches Tripel sind drei natürliche Zahlen x,y,z, welche die aus dem Satz des Pythagoras bekannte Gleichung x^2 + y^2 = z^2 erfüllen. Beispiele: 3,4,5; 5,12,13. Siehe Pythagoreisches Tripel. Man findet pythagoreische Tripel durch den Ansatz x = a2 - b2, y = 2ab, z = a2 + b2.

Ein Pythagoreischer Körper ist ein Körper, in dem die Summe von zwei Quadraten auch wieder ein Quadrat ist.

"Pythagoras of Samos", "Pythagóras ho Sámios", "Pythagoras the Samian", c. 570 BC - c. 495 BC) was an Ionian Greek philosopher, mathematician, and founder of the religious movement called Pythagoreanism. Most of the information about Pythagoras was written down centuries after he lived, so very little reliable information is known about him. He was born on the island of Samos, and might have travelled widely in his youth, visiting Egypt and other places seeking knowledge. Around 530 BC, he moved to Croton, a Greek colony in southern Italy, and there set up a religious sect. His followers pursued the religious rites and practices developed by Pythagoras, and studied his philosophical theories. The society took an active role in the politics of Croton, but this eventually led to their downfall. The Pythagorean meeting-places were burned, and Pythagoras was forced to flee the city. He is said to have died in Metapontum.
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The Pythagoras tree is a plane fractal constructed from squares. Invented by the Dutch mathematics teacher Albert E. Bosman in 1942, it is named after the ancient Greek mathematician Pythagoras because each triple of touching squares encloses a right triangle, in a configuration traditionally used to depict the Pythagorean theorem. If the largest square has a size of L × L, the entire Pythagoras tree fits snugly inside a box of size 6L × 4L. The finer details of the tree resemble the Lévy C curve.
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Pythagorean theorem

Pythagoras von Samos ~540 v.Chr.

Zitate von Pythagoras von Samos