Fermat-Zahlen (W3)
Die Fermatzahlen sind definiert als:
F(n) = [2^(2^n) + 1], für n = 0, 1, 2, ...
Es ist also:
- F(0) = 3
- F(1) = 5
- F(2) = 17
- F(3) = 257
- F(4) = 65.537
- F(5) = 4.294.967.297
- ...
Es gilt: Produkt (k=0 Bis n-1) von F(k) = F(n) - 2 (n ≥ 1)
Beweis: (durch vollständige Induktion)
Produkt (k=0 Bis n-1) von F(k) = F(n ) - 2
Produkt (k=0 Bis n ) von F(k) = F(n+1) - 2
Produkt (k=0 Bis n) von F(k)
= [Produkt (k=0 Bis n-1) von F(k)] * F(n)
= [F(n) - 2] * F(n)
= [2^(2^n) - 1] * [2^(2^n) + 1]
= [2^(2^n) * 2^(2^n) - 1]
= 2^(2^n + 2^n) - 1
= 2^(2*(2^n)) - 1
= 2^2^(n+1) - 1
= 2^2^(n+1) + 1 - 2
= F(n+1) - 2
Damit läßt sich beweisen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
Beweis:
Je zwei Fermat-Zahlen sind relativ prim.
Beh: Für i < n gilt: F(i) und F(n) sind teilerfremd.
Bew:
1) aus der Definition von F(n) = [2^(2^n) - 1] folgt F(n) ist ungerade.
2) angenommen p ist Teiler von F(i) und Teiler von F(n)
dann ist p auch Teiler von [Produkt (k=0 Bis n-1) von F(k)]
(denn: F(i) ist einer der Faktoren, also ist jeder Teiler von F(i) auch Teiler des Produkts)
d.h. p ist Teiler von [F(n) - 2]
wegen p ist auch Teiler von F(n) folgt p ist Teiler von 2
daraus folgt p = 1 oder p = 2
aus p = 2 folgt ein Widerspruch zu "F(i) ist ungerade für all i"
also p = 1 und es folgt: F(i) und F(n) sind teilerfremd
Daraus folgt je zwei Fermat-Zahlen sind teilerfremd.
Also ist jede Fermat-Zahl selbst prim oder sie haben unterschiedliche Primzahlteiler.
Da es unendlich viele Fermat-Zahlen gibt (mit unterschiedlichen Primzahlteilern) gibt es unendlich viele Primzahlen.
(E1)(L1) http://ngrams.googlelabs.com/graph?corpus=8&content=Fermat-Zahlen
Abfrage im Google-Corpus mit 15Mio. eingescannter Bücher von 1500 bis heute.
Dt. "Fermat-Zahlen" taucht in der Literatur nicht signifikant auf.
Erstellt: 2011-11