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Chaos (W3)

Das Chaos, indecl. plur. car. aus dem Griech., der unförmliche Klumpen, in welchem alle Elemente, vor der Bildung der Welt, ohne Ordnung mit einander vermenget waren, nach der Schöpfungslehre der Griechischen und Römischen Dichter. Figürlich auch, ein Mischmasch, eine verworrene dunkele Sache. Seine Rede ist für mich ein undurchdringliches Chaos. Daher chaotisch, einem Chaos ähnlich, im hohen Grade unordentlich unter einander. Raban Maurus übersetzt Chaos durch Mihilfinstar, große Finsterniß.

Am Anfang schuf Gott Himmel und Erde. Und die Erde war wüst und leer, und es war finster auf der Tiefe; und der Geist Gottes schwebte auf dem Wasser.

Aspekte der Chaostheorie und der fraktalen Geometrie

9. Vortrag der Humboldt-Gesellschaft am 03.05.1995 von Uwe Rehfeld und Stefan Nehrkorn

Die Mandelbrot-Menge (EXTERN)

Das Wort Chaos wird immer mehr zum Gegenstand alltäglicher Diskussionen. Der hier verschriftlichte (ursprünglich audiovisuell gestützte) Vortrag ist ein Versuch, etwas Licht in die Wissenschaft des Chaos zu bringen, wobei er an diejenigen gerichtet ist, die sich -im Namen des in der Überschrift versteckten Tiers- für Laien halten.

Umgangssprachlich wird der Begriff "Chaos" assoziiert mit Unordnung, Durcheinander, Strukturlosigkeit, Verwirrung, Unregelmäßigkeit und Anarchie. Der griechische Ursprung des Wortes "Chaos" steht für den "mit ungeformtem und unbegrenztem Urstoff gefüllten Raum" als Vorstufe des endlichen und wohlgeformten Kosmos. Die heutige Chaosforschung kommt dieser antiken, positiven Auffassung nahe. Sie untersucht Vorgänge, bei denen vormals geordnete Strukturen in chaotische Zustände übergehen und umgekehrt.
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Chaostheorie (W3)

Zunächst stellen sich natürlich einige Fragen: Was ist eigentlich Chaos? Gibt es einen Unterschied zwischen dem was ein Mathematiker und der "normale" Mensch darunter versteht? Und: was kann man an Chaos mathematisch beschreiben?

Auf diese Fragen möchte ich in diesem Artikel versuchen erste Antworten zu geben. Dabei werde ich mich eng an dem Buch Chaos - Bausteine der Ordnung [1] von Heinz-Otto Peitgen, Hartmut Jürgens und Dietmar Saupe orientieren.
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In der griechischen Mythologie war das "Chaos" der wüste Urzustand der Welt, aus dem die Götter entsprangen. Später bekam "Chaos" die Bedeutung einer vollständigen Unordnung als Kontrast zum "Kosmos", der geordneten Welt. Im Gegensatz zur populären Auffassung gibt es keine "Chaostheorie" als wissenschaftliche Theorie. Allerdings werden Teilgebiete der Mathematik und Physik, die sich mit der Entwicklung so genannter nichtlinearer Systeme befassen, zuweilen als "Chaostheorie" bezeichnet.
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Der sogenannte »Schmetterlingseffekt« geht zurück auf den Meteorologen Edward Lorenz. Der berechnete im Jahr 1961 auf einem Computer ein Modell zur Wettervorhersage. Anschließend ließ er dasselbe Programm noch einmal laufen, allerdings rundete er einen Eingangswert von sechs auf drei Nachkommastellen. Und prompt ergab sich ein völlig anderes Computerwetter!

Das war die Geburtsstunde der Chaostheorie. Sie besagt, dass manche physikalischen Systeme, unter anderem das Wetter, sehr empfindlich gegenüber winzigen Veränderungen der Ausgangsbedingungen sind.
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chaotisch (W3)

Als mathematischer Begriff (s. "Chaostheorie") ist "chaotisch" Ausdruck eines schlecht gestellten (engl. „ill posed“) inversen Problems. Mittels einfacher, meist sogar deterministischer Regeln kann ein komplexes Objekt erzeugt werden, jedoch ist der Rückschluss vom Objekt auf die erzeugenden Regeln nicht oder nur schlecht möglich.

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robert-doerner
Mathematik-Glossar

Auf diesen Seiten geht es um nichtlineare Dynamik, bzw. Chaostheorie. An verschiedenen Beispielen von der logistischen Abbildung bis zum angetriebenen, gedämpften Pendel werden charakteristische Merkmale von deterministisch-chaotischen Systemen vorgeführt. Mittelpunkt jedes Kapitels ist ein Java-Applet, an dem der Besucher selbst Parameter verändern und mit dem jeweiligen System spielen kann. Zu jedem System gibt es einen mehr oder weniger knappen, erläuternden Text und Verweise auf weiterführende Literatur. Wichtige, wiederkehrende Fachbegriffe (z.B. auch der Begriff Chaos selbst) sind im Glossar zusammengestellt. Schließlich gibt es noch eine Liste von Links zu sites, die sich ebenfalls mit nichtlinearer Dynamik beschäftigen.

| Adaptive Chaos-Steuerung | Apfelmännchen | Attraktionsbasin | Attraktor (, seltsamer) | Belouzov-Zabotinskij-Reaktion | Bifurkation | Cantor-Menge | Chaos, deterministisches | | Delaykoordinaten | Dimension, fraktale | dissipativ | Drei-Körper-Problem | Einbettung einer Zeitreihe | Feigenbaumkonstanten | Fluss, Flussfeld, linearisierter Fluss | Fraktal | Grassberger-Procaccia-Analyse | Hamiltonsches Chaos | Hausdorff-Dimension | Henon-Heiles-System | Homokliner Orbit | Hyperchaos | Ikeda-Abbildung | IPOs - instabile periodische Orbits | IPO / Fixpunkt | Juliamenge | KAM-Theorem | KAM-Torus | Kaplan-Yorke-Abbildung | Kaplan-Yorke-Vermutung | K-Entropie, Kolmogorov-Sinai-Entropie | konservativ | Liouville, Satz von | Lokale Steuerung | Lyapunov-Exponent | Mackey-Glass-System | Mandelbrotmenge | Mannigfaltigkeiten, stabile und instabile | Melnikov-Methode | OGY-Steuerung | Oseledec-Matrix, -Theorem | Pfefferkuchenmann-Abbildung | Phasenraum | Poincaré-Ebene, -Abbildung | Poincaré-Bendixson-Theorem | QP-, QR-Zerlegung | Quantenchaos | Rabinovich-Fabrikant-Gleichungen | Rayleigh-Benard-Experiment | Rekonstruktion eines Attraktors | Repellor | Rössler-System | Routen ins Chaos | Schmetterlingseffekt | Shadowing | Sinai-Billard | Stabilität, strukturelle | Steuerung von Chaos | Takens-Theorem | Tinkerbell-Abbildung | Transientes Chaos | Trajektorie | Vorhersagbarkeit | Zaslavskij-Abbildung

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Bräuer, Kurt (Autor)
Chaos, Attraktoren und Fraktale
Mathematische und physikalische Grundlagen nichtlinearer Phänomene mit Anwendungen in Physik, Biologie und Medizin

Kurzbeschreibung
Wie funktioniert das Wetter oder das menschliche Gehirn? Kann die Chaostheorie helfen, Krebs oder Arteriosklerose besser zu erkennen? Ist das Weltgeschehen durch die Gesetze der Chaostheorie festgelegt oder gibt es Freiräume, in denen Leben sich kreativ entfalten kann?

Das jetzt erschienene Buch von Kurt Bräuer "Chaos, Attraktoren und Fraktale. Mathematische und physikalische Grundlagen nichtlinearer Phänomene mit Anwendungen in Physik, Biologie und Medizin" geht solchen Fragen nach. Dabei ist das mathematische Niveau für ein Fachbuch dieser Art besonders einfach gehalten.

Das Buch wendet sich an alle an der Chaostheorie interessierten. Voraussetzung sind elementare mathematische Grundkenntnisse. Gedacht ist zum Beispiel an Naturwissenschaftler, Studenten, Lehrer oder Ärzte.

Otto E. Rössler, einer der Pioniere der Chaosforschung, sagt über dieses Buch: "Diese Buch füllt eine Lücke, da es weder im populär-Anschaulichen und Plausiblen stecken bleibt noch sofort zu den nur dem Fachmann verständlichen Jargon verfällt. Es führt damit Menschen, die Fachleute werden wollten und sollen auf humane Weise sachte heran, so dass sie es auf einmal unter der Hand sind, wenn sie das Buch aus der Hand legen. Das ist das Geheimnis eines guten Lehrbuches"

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Peitgen, Heinz O. (Autor)
Jürgens, Hartmut (Autor)
Saupe, Dietmar (Autor)
Chaos. Bausteine der Ordnung

Klappentext
Chaostheorie und fraktale Geometrie sind neue faszinierende Ansätze zum Verständnis komplexer Strukturen in Formen und Prozessen der Natur. Dieser Band führt die in "Bausteine des Chaos - Fraktale" begonnene Darstellung in sieben weiteren in großen Teilen unabhängigen Kapiteln fort. Im Mittelpunkt steht dabei der Begriff des Deterministischen Chaos, dessen Grundlagen in verständlicher jedoch entmystifizierender Weise dargestellt werden. Jedes Kapitel wird duch ein Computerprogramm abgeschlossen, das ein zentrales Phänomen experimentell zugänglich macht. Das Vorwort des Gießener Philosophen Bernulf Kanitscheider beleuchtet das Thema wissenschaftsund erkenntnistheoretisch und schafft eine Anbindung an die Geisteswissenschaften.

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Stewart, Ian (Autor)
Spielt Gott Roulette? Uhrwerk oder Chaos

Kurzbeschreibung
Auf humorvolle Weise setzt sich Ian Stewart mit dem Thema "Chaos in der Mathematik" auseinander. Anhand zahlreicher Beispiele verfolgt er die Geschichte dieses mathematischen Phänomens von den alten Griechen über Newton bis ins Computer-Zeitalter. "Es gibt nur wenige Mathematiker mit Stewarts Sinn für das Geschichtliche und seiner Fähigkeit, mathematische Gedanken mit Hilfe von einfachen Analogien und der richtigen Wortwahl in eine verständliche Sprache zu übertragen." (The New Scientist.)