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Beweis (W3)

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Beweise im wissenschaftlichen Sinne gibt es eigentlich nur in der Mathematik.
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Direkter Beweis (W3)

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Indirekter Beweis (W3)

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mathe-online
Beweistechniken

• Beweis durch vollständige Induktion

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matheplanet
Einfache Beweise in der Mathematik

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Der Artikel "Einfache Beweise in der Mathematik" soll helfen, wie mathematische Beweise geführt werden können und worauf es zu achten gilt. Anhand (einfacher) Beispiele werden die verschiedenen Beweistechniken verdeutlicht.

Die Gültigkeit mathematischer Aussagen nachzuweisen beginnt mit der Formalisierung der Aussage. Anschließend kann diese mit unterschiedlichen Mitteln bewiesen werden. In dem Dokument werden zunächst einige gängige Aussagentypen vorgestellt, darunter "Implikationsaussagen", "Äquivalenzaussagen", "Allaussagen", "Existenzaussagen". Danach werden unterschiedliche Beweistechniken vorgestellt, um die Gültigkeit dieser Aussagen zu beweisen. Unter anderem der "Direkte Beweis", der "Widerspruchsbeweis", der "Ringschluss" und die "vollständige Induktion".

Die unterschiedlichen Beweistechniken werden auf (einfache) Beispiele verschiedener Bereiche angewendet. Beispielsweise werden Gleichungen über Summenformeln, Teilbarkeit von Zahlen oder geschlossene Formen für rekursiv definierte Funktionen bewiesen.

Einfache Beweise in der Mathematik
Version 2.09
Rouven Walter
28. April 2011
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Inhaltsverzeichnis

• 1 Mathematische Aussagen und Beweistechniken 2
• 2 Einfache Beweise auf ganzen Zahlen 6
• 3 Das Prinzip der vollständigen Induktion 10
• 4 Einfache Gleichungen über Summen 12
• 5 Aussagen über die Teilbarkeit ganzer Zahlen 13
• 6 Rekursionsgleichungen und geschlossene Formen 19
• 7 Eigenschaften der Addition und Multiplikation auf den natürlichen Zahlen 22
• Literatur 27

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Proband (W3)

Onus Probandi

DLR-Video Kabinenforschung - 18. Oktober 2011 - Das Deutsche Zentrum für Luft- und Raumfahrt (DLR) und Airbus haben erstmals ein für Flugzeuge neues Belüftungssystem im Flugversuch getestet. Fliegen soll damit für die Passagiere angenehmer werden, gleichzeitig soll Energie und Treibstoff eingespart werden. 63 schwarze Dummies und zwölf Probanden haben die erhofften Vorteile bestätigt.

nervus probandi: phr. - the strong point of the proving: crux of theargument

onus probandi: phr. - the burden of proof

Kant, Immanuel: § 92. Petitio principii - Circulus in probando

Rudolf Eisler: "Circulus in probando"

• Belger, Heiko - 2004 - Medizin - Belastungsinduzierte Zunahme der Herzfrequenz, Kontraktilität und Plasmareninaktivität bei Probanden mit dem Gly389Arg Polymorphismus des beta-1 Adrenozeptors
• Böhm, Ursula Irmgard - 2004 - Medizin - Molekulare Charakterisierung und Mutationsanalyse der Fringe-Genfamilie Lunatic-, Radical- und Manic-Fringe bei Probanden mit einem Alagille-Syndrom
• Dannenberg, Katrin - 2003 - Medizin - Untersuchungen zur Wirkung von Trapidil auf Handrückenvenen gesunder Probanden nach lokaler intravenöser und oraler Applikation
• Marian, Heike - 2003 - Medizin - Variabilität elektrogustometrischer Kennlinien bei gesunden Probanden und Patienten mit Fazialisparese oder Malignom im Kopf-Hals-Bereich
• Wöllenweber, Fridtjof - 2003 - Medizin - Einfluss einer 1-Blockade auf die Barorezeptorsensitivität bei jungen und gesunden Probanden

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Probe (W3)

Die "Probe", plur. die -n, Diminut. das "Pröbchen", Oberd. "Pröblein". 1) Ein Versuch, welchen man anstellet, um die Beschaffenheit eines Dinges daraus zu erkennen. Eine Probe machen, anstellen. Eine Probe mit etwas machen. Ich thue es nur zur Probe. Zur Probe singen, spielen u. s. f. wofür man auch sagt, die Probe singen oder spielen, da es denn zur folgenden Bedeutung gehöret. Die Probe halten oder aushalten, in einem solchen Versuche gut befunden werden. Die Farbe hält die Probe nicht. Sie wird diese Probe gewiß nicht aushalten. Ingleichen der Zustand, da mit einem Dinge ein solcher Versuch gemacht wird, dessen Beschaffenheit zu erkennen; ohne Plural. Jemanden auf die Probe stellen, ihn in Umstände versetzen, worin er zeigen muß, wie er beschaffen ist. Einen Bedienten auf die Probe nehmen, um zu erfahren, wie er geartet ist. Probe geht, wie Stosch ganz richtig anmerket, bloß auf die Beschaffenheit einer Sache, dagegen Versuch auch die Möglichkeit mit einschließet. Das Zeitwort "probieren" aber ist auch in weiterm Verstande für versuchen überhaupt üblich. 2) Dasjenige, woraus man die Beschaffenheit eines Dinges erkennet. So wohl ein Theil eines Ganzen, woraus man auf die Beschaffenheit des Ganzen schließt. So gibt der Kaufmann "Zeugproben", der Weinhändler "Weinproben", um daraus die Beschaffenheit seiner Zeuge und Weine erkennen zu können, welche Proben, besonders von Zeugen, in Niedersachsen Staal und in Baiern Stahel genannt werden. Im Bergbaue sind die Proben kleine Quantitäten Erzes, aus deren Gehalte man den Gehalt der ganzen Masse beurtheilet. Jemanden eine Probe von etwas geben, ihm einen Theil eines körperlichen Ganzen geben, das letztere daraus zu beurtheilen. Als auch von Handlungen, so fern sie Erkenntnißquellen der Beschaffenheit der handelnden Person sind. Eine Probe ablegen. Proben seines Fleißes, seiner Geschicklichkeit ablegen. Sie haben mir schlechte Proben von ihrem Andenken gegeben. Da es denn auch oft von einem jeden thätigen Beweise, und im Oberdeutschen, so wie das Franz. "Preuve", sogar von einem jeden Beweise überhaupt gebraucht wird, in welcher Bedeutung es unter andern auch in dem zusammen gesetzten "Ahnenprobe" vorkommt. Im Handel und Wandel werden auch die Zeichen, woraus die Güte einer Waare erkannt wird, Proben genannt. So führet das den Tüchern angehängte und gestämpelte Stück Bley oft den Nahmen der Probe; Nieders. gleichfalls Staal, Holländ. Staelloot. An dem verarbeiteten Silber ist es das Zeichen, woraus die Beschaffenheit des Silbers erkannt wird, ( S. Probesilber, Probezinn.) 3) Zuweilen führet auch ein Werkzeug, womit man die Beschaffenheit eines Dinges untersucht, den Nahmen der Probe. ( S. Kugelprobe.) So wie es in andern von einem Muster gebraucht wird, nach welchem die Beschaffenheit eines andern Dinges eingerichtet wird, ( S. das folgende, ingleichen Probemaß.) 4) Bey den Drahtziehern wird eine besondere Art Drahtes, welche sonst auch mit Num. 4, 5 und 6 bezeichnet wird, und woraus die schönen Glanz-Cantillen und Perl-Cantillen verfertiget werden, grobe Proben genannt; wo der Grund der Benennung dunkel ist.

Anm. Im Nieders. "Prove", im Engl. "Proofe", im Ital. "Pruova", im Schwed. "Prof", und im Franz. "Preuve". S. "Prüfen" und "Probieren".

Probe (USA 1988)

PROBE Prueba

"Probe", F., "Prüfung", "Probe", 1. H. 15. Jh. Lw. spätlat. "proba", F., "Prüfung", "Versuch", zu lat. "probare", V., "prüfen", zu lat. "probus", Adj., "probehaltig", "gut", zu lat. "pro", Präp., Präf., "vor".

probe | probegeld | probegroschen | probeherr | probejahr | probelektion | probemahlen | probemahlung | probemeister | proben | probeordnung | probepredigt | probepunkt | prober | probestueck | probezeichen | probezeit | probier | probieramt | probierbuch | probierbuechse | probieren | probierer | probiereramt | probierereid | probiergeld | probiergewicht | probierjahr | probierlohn | probierlot | probiermeister | probierordnung | probiertag | probiertermassen | probierung | probierwaage | probierwoche

Probe | Probebacken | Probeband | Probeblatt | Probebogen | Probebrand | Probedreschen | Probegolds | Probeflößen | Probeisen | Probejagen | Probejahr | Probekarte | Probekelle | Probelöffel | Probemaß | Probenächte | Probenplatte | Probenstößer | Probepredigt | Prober | Probering | Proberöhren | Probeschäffel | Probeschlachten | Probesilber | Probestein | Probestreichen | Probestück | Probewage | Probewochen | Probezeit | Probeziegel | Probezinn | Probierblech | Probierbret | Probierbuch | Probiercabinett | Probiercentner | Probieren | Probierer | Probiercentner | Probierform | Probiergebühren | Probiergehäuse | Probiergeräthe | Probiergewicht | Probiergezähe | Probierhammer | Probierhengst | Probierinstrumente | Probierkabinet | Probierkapelle | Probierkluft | Probierkörner | Probierkunst | Probierlöffel | Probiermehl | Probiernadeln | Probiernäpfchen | Probierofen | Probierpfanne | Probierplatte | Probierring | Probierschälchen | Probierscheffel | Probierscherben | Probierstange | Probierstein | Probierstube | Probierriegel | Probiertuten | Probieruhr | Probierwage | Probierzentner

- prob - L : probare - beproeven

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probieren (W3)

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prüfen (W3)

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Q. E. D.
Q.E.D.
QED
qed (W3)

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(It doesn't really mean "Quite Easily Done.")
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textlog.de - Maut
Mauthner, Fritz
Beweis - Geometrische Beweise - Beweise sind Hypothesen

• I. Begriff und Wort
• II. Die Definition
• III. Das Urteil
• IV. Die Denkgesetze
• V. Die Schlußfolgerung
• VI. Die Induktion
• Deduktion und Induktion
• Induktion und Licht
• Induktive Begriffsbildung
• Induktion und Abstraktion
• "Schwere"
• Kepler, Galilei, Newton
• "Jahr"
• Geschichte der Induktion
• Doppelsterne
• Begriff und Gesetz
• Induktion und Schluß
• Wahrscheinlichkeit
• Kreislauf von Wort und Gesetz
• Beweis
• Hypothesen
• Hypothesen und Worte
• Geometrische Beweise
• Beweise sind Hypothesen
• Auch Begriffe Hypothesen
• VII. Termini technici der induktiven Wissenschaften
• VIII. Wissen und Worte

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textlog.de - Sulz
Sulzer, Johann Georg
Beweis - Beweisarten - Beweisgründe

• Beweis: Wahrheit und Deutlichkeit | Ton der Wahrheit und Überzeugung
• Beweisarten
• Beweisgründe

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Uni Erlangen
Wann ist ein Beweis ein Beweis?

ERICH CHRISTIAN WITTMANN und GERHARD MÜLLER, Dortmund
Wann ist ein Beweis ein Beweis?
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Uni Magdeburg
Beweise

Beweis:
A.11 A.12 A.13 A.25 A.44 A.45 A.50 A.51 A.52 A.61 A.70 A.72 B.11 B.12 K.1 K.2 K.3 K.4 K.11 K.12 K.13 K.15 K.16 K.17 K.18 K.21 K.22 K.23 K.24 K.25 K.26 K.27 K.32 K.34 K.35 K.43 K.44 K.61 K.62 K.63 K.71 K.74 K.75 D.1 D.2 D.3 D.5 D.6 D.7 D.8 D.9 D.10 D.11 D.12 D.13 D.21 D.22 D.23 D.24 D.25 D.26 D.27 D.28 D.29 D.31 D.34 D.35 D.36 D.38 D.39 D.40 D.41 D.42 D.44 D.46 D.47 D.48 D.49 D.50 D.51 D.54 D.61 D.62 D.63 D.64 D.65 D.66 D.67 D.68 D.69 D.71 D.74 D.75 D.81 D.91 D.93 V.1 V.2 V.3 V.5 V.6 V.7 V.12 V.13 V.14 V.21 V.22 V.23 V.24 V.25 V.27 V.28 V.31 V.32 V.33 V.34 V.35 V.36 V.37 V.41 M.2 M.3 M.4 M.5 M.6 M.7 M.8 M.9 M.10 M.11 M.12 M.13 M.23 M.24 M.25 M.26 M.27 M.29 M.30 M.42 M.51 M.52 M.53 M.54 M.55 M.56 M.57 M.58 M.60 M.61 M.62 M.63 M.64 W.1 W.2 W.3 W.4 W.5 W.6 W.7 W.8 W.9 W.10 W.11 W.12 W.13 W.15 W.16 W.18 W.21 W.22 W.24 W.33 W.34 W.36 W.39 W.40 W.41 W.42 W.43 W.44 W.45 W.46 W.51 W.54 W.61 W.71 W.81 W.84 W.85 W.87 W.89 U.1 U.2 U.3 U.4 U.5 U.6 U.7 U.8 U.9 U.11 U.12 U.13 U.14 U.15 U.16 U.17 U.18 U.19 U.20 U.21 U.22 U.23 U.24 U.25 U.26 U.31 U.32 U.33 U.34 U.35 U.36 U.37 U.38 U.39 U.40 U.41 U.42 U.43 U.45 U.46 U.47 U.48 U.49 U.50 U.51 U.52 U.53 U.54 U.55 U.56 U.57 U.58 U.59 U.60 U.61 U.62 U.63 U.64 U.71 U.72 U.74 U.76 U.77 U.78 U.79 U.80 U.81 U.82 U.83 U.84 U.85 U.86 U.87 U.88 U.89 U.90 U.91 U.92 U.93 U.94 G.1 G.11 G.12 G.13 G.14 G.15 G.16 G.21 G.22 G.23 G.31 G.32 G.61 G.62 G.83 G.84

Beweis, ­indirekter:
D.33 D.45

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Vollständige Induktion (W3)

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wikipedia
Beweistechnik

Beweis (Mathematik)

Ein Beweis ist in der Mathematik die als fehlerfrei anerkannte Herleitung der Richtigkeit oder auch Unrichtigkeit einer Aussage aus einer Menge von Axiomen, die als wahr vorausgesetzt werden, und anderen Aussagen, die bereits bewiesen sind.

Man kann nach zwei Kriterien Beweise unterscheiden und in zwei Gruppen aufteilen:

• Ein Beweis kann entweder direkt oder indirekt geführt werden.
• Ein Beweis kann entweder konstruktiv oder nicht-konstruktiv sein.

Umfangreichere Beweise werden in der Regel in mehrere kleine Teilbeweise aufgeteilt, von denen dann einige direkt und andere indirekt, einige konstruktiv und andere nicht-konstruktiv sein können.

Inhaltsverzeichnis

• 1 Direkte und indirekte Beweise
• 2 Konstruktive und nicht-konstruktive Beweise
• 3 Einige besondere Beweismethoden
• 3.1 Vollständige Induktion
• 3.2 Vollständige Fallunterscheidung
• 3.3 Diagonalverfahren
• 3.4 Schubfachprinzip
• 3.5 Transfinite Induktion
• 4 Siehe auch
• 5 Literatur
• 6 Weblinks

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Aigner, Martin (Autor)
Ziegler, Günter M. (Autor)
Hofmann, Karl H. (Illustrator)
Das BUCH der Beweise

Aus den Rezensionen der englischen Ausgabe: "Ein prächtiges, äußerst sorgfältig und liebevoll gestaltetes Buch! Erdös hatte die Idee DES BUCHES, in dem Gott die perfekten Beweise mathematischer Sätze eingeschrieben hat. Das hier gedruckte Buch will eine "very modest approximation" an dieses BUCH sein.... Das Buch von Aigner und Ziegler ist gelungen ..." Mathematische Semesterberichte, 1999"... Martin Aigner...und Günter Ziegler referieren sympathisch einige dieser gottgefälligen Geistesblitze.... Der Beweis selbst, seine Ästhetik, seine Pointe geht ins Geschichtsbuch der Königin der Wissenschaften ein. Ihre Anmut offenbart sich in dem gelungenen und geschickt illustrierten Buch über das BUCH. Um sie genießen zu können, lohnt es sich, das bißchen Mathe nachzuholen, das wir vergessen haben oder das uns von der Schule vorenthalten wurde."

Inhaltsverzeichnis (35 Kapitel)

• Sechs Beweise für die Unendlichkeit der Primzahlen - Aigner, Martin (et al.) - Seiten 3-6
• Das Bertrandsche Postulat - Bertrand, Joseph - Seiten 7-13
• Binomialkoeffizienten sind (fast) nie Potenzen - Aigner, Martin (et al.) - Seiten 15-18
• Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat - Fermat, Pierre - Seiten 19-25
• Jeder endliche Schiefkörper ist ein Körper - Witt, Ernst - Seiten 27-31
• Einige irrationale Zahlen - Hermite, Charles - Seiten 33-39
• Drei Mal p2 / 6 - Aigner, Martin (et al.) - Seiten 41-49
• Hilberts drittes Problem: Zerlegung von Polyedern - Hilbert, David - Seiten 53-60
• Geraden in der Ebene und Zerlegungen von Graphen - Sylvester, J. J. - Seiten 61-66
• Wenige Steigungen - Aigner, Martin (et al.) - Seiten 67-72
• Drei Anwendungen der Eulerschen Polyederformel - Euler, Leonhard - Seiten 73-79
• Der Starrheitssatz von Cauchy - Cauchy, Augustin - Seiten 81-85
• Simplexe, die einander berühren - Aigner, Martin (et al.) - Seiten 87-91
• Stumpfe Winkel - Aigner, Martin (et al.) - Seiten 93-99
• Die Borsuk-Vermutung - Borsuk, Karol - Seiten 101-107
• Mengen, Funktionen, und die Kontinuumshypothese - Cantor, Georg - Seiten 111-126
• Ein Lob der Ungleichungen - Aigner, Martin (et al.) - Seiten 127-134
• Ein Satz von Pólya über Polynome - Pólya, George - Seiten 135-141
• Ein Lemma von Littlewood und Offord - Littlewood, John E. - Seiten 143-146
• Der Kotangens und der Herglotz-Trick - Herglotz, Gustav - Seiten 147-152
• Das Nadel-Problem von Buffon - Buffon, Le Comte - Seiten 153-156
• Schubfachprinzip und doppeltes Abzählen - Aigner, Martin (et al.) - Seiten 159-170
• Drei berühmte Sätze über endliche Mengen - Sperner, Emanuel - Seiten 171-176
• Gut genug gemischt? - Aigner, Martin (et al.) - Seiten 177-187
• Gitterwege und Determinanten - Aigner, Martin (et al.) - Seiten 189-194
• Cayleys Formel für die Anzahl der Bäume - Cayley, Arthur - Seiten 195-201
• Vervollständigung von Lateinischen Quadraten - Aigner, Martin (et al.) - Seiten 203-210
• Das Dinitz-Problem - Aigner, Martin (et al.) - Seiten 211-217
• Identitäten und Bijektionen - Aigner, Martin (et al.) - Seiten 219-224
• Ein Fünf-Farben-Satz - Aigner, Martin (et al.) - Seiten 227-230
• Die Museumswächter - Aigner, Martin (et al.) - Seiten 231-234
• Der Satz von Turán - Turán, Paul - Seiten 235-240
• Kommunikation ohne Fehler - Aigner, Martin (et al.) - Seiten 241-251
• Von Freunden und Politikern - Aigner, Martin (et al.) - Seiten 253-255
• Die Probabilistische Methode - Aigner, Martin (et al.) - Seiten 257-267

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Alsina, Claudi
Nelsen, Roger B.
Filk, Thomas (Übersetzung)
Bezaubernde Beweise
Eine Reise durch die Eleganz der Mathematik

Sätze und ihre Beweise bilden das Herz der Mathematik.

Leser lernen in dem Band die Schönheit der Mathematik anhand ihrer Sätze und Beweise kennen: u. a. zu natürlichen Zahlen, zu Dreiecken, Vielecken, Origami und Parkettierungen. Mit über 130 Aufgaben, die zeigen, wie sich Beweise finden lassen.

Sätze und ihre Beweise bilden das Herz der Mathematik.

Diese Sammlung bezaubernder Beweise, verblüffender Argumente und überzeugender bildlicher Darstellungen lädt den Leser ein, sich an der Schönheit der Mathematik zu erfreuen, seine Entdeckungen mit anderen zu teilen und bei dem Finden neuer Beweise mitzumachen.

Das Buch umfasst folgende Themen: natürliche Zahlen, besondere reelle Zahlen, Punkte in der Ebene, Dreiecke, Quadrate, andere Vielecke, Kurven, Ungleichungen, ebene Parkettierungen, Origami, Beweise mit Färbungen, dreidimensionale Geometrie, usw.

Jedes Kapitel endet mit einigen Aufgaben, die den Leser in die Kunst des Auffindens von bezaubernden Beweisen einbezieht. Es gibt insgesamt über 130 solcher Aufgaben.

Inhaltsverzeichnis

Der Garten der natürlichen Zahlen.- Besondere Zahlen.- Punkte in der Ebene.- Spielwiese der Vielecke.- Eine Schatzkiste voller Dreieckssätze.- Der Zauber des gleichseitigen Dreiecks.- Das Reich der Vierecke.- Überall Quadrate.- Aufregende Kurven. - Abenteuer mit Parkettierungen und Färbungen.- Geometrie in drei Dimensionen.- Weitere Sätze, Aufgaben und Beweise.- Lösungen zu den Aufgaben.- Literaturangaben.- Index.

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Averroes (Mohammed Ibn Ruschd) (Autor) (1126-1198)
Schaerer, Patric O. (Herausgeber, Übersetzer)
Die entscheidende Abhandlung
Die Untersuchung über die Methoden der Beweise

• Die entscheidende Abhandlung oder die Bestimmung des Zusammenhangs zwischen religiösem Gesetz und Philosophie
• Ist Philosophie von der islamischen Satzung verboten, erlaubt oder befohlen? - Definition
• von Philosophie und Bestimmung ihres Verhältnisses zur Satzung
• Die Methode des Schließens; ihre Voraussetzungen und ihre verschiedenen Arten
• Die Übereinstimmung zwischen der Satzung und dem Intellekt - Die äußere und innere Sinnebene - Interpretation und Konsens
• Sind die Philosophen wegen Unglaubens zu verurteilen?
• Die Texte der Satzung gliedern sich in drei Kategorien
• Die Einteilung der Menschen entsprechend ihrem Verständnisvermögen und die Einteilung der Methoden - Der Umgang mit der Interpretation
• Zusatz
• Die Frage, welche Averroes in der Entscheidenden Abhandlung erwähnte
• Die Untersuchung über die Methoden der Beweise im Rahmen der religiösen Glaubenssätze
• Vorrede
• Erstes Kapitel: Die Beweise für das Vorhandenseindes erschaffenden Urhebers
• Die Methoden der Aš'ariten
• Erste Methode
• Erste Prämisse
• Zweite Prämisse
• Dritte Prämisse
• Zweite Methode
• Erste Prämisse
• Zweite Prämisse
• Die Methoden der Sufis und der Mu'taziliten
• Die koranische Methode
• Zweites Kapitel: Über die Einzigkeit Gottes
• Die Beweise des Korans zur Einzigkeit Gottes
• Der Beweis der Aš?ariten
• Drittes Kapitel: Über die Attribute Gottes
• Die Beziehung zwischen dem Wesen und den Attributen
• Viertes Kapitel: Über die Erkenntnis der Transzendenz Gottes
• Das Attribut der Körperlichkeit
• Gott ist Licht
• Über die räumliche Ausrichtung
• Gazali und sein schädlicher Einfluss auf die Philosophie und das religiöse Gesetz
• Kein Widerspruch zwischen Philosophie und Religiösem Gesetz
• Das Erschauen Gottes
• Fünftes Kapitel: Über die Kenntnis der Handlungen [Gottes]
• Die erste Frage über die Entstehung der Welt
• Kontingenz und Kausalität
• Die zweite Frage über die Sendung der prophetischen Gesandten
• Die dritte Frage über das Schicksal und die Vorherbestimmung
• Die vierte Frage: Unrecht und Gerechtigkeit
• Die fünfte Frage: Die Erörterung über die Auferstehung am Jüngsten Tag und ihre Umstände
• Der Kanon der Interpretation
• Anhang
• Zu dieser Ausgabe
• Anmerkungen
• Literaturhinweise
• Nachwort

Averroes

(Ibn Ruschd) Averroes

Averroes [ibn ruschd]

Averroes

Averroes (ibn Ruschd) | Monopsychismus; - Averroes, Averroismus

(Abul Walid Mahommed Ibn Achmed, Ibn Mahommed Ibn Roschd).

Arabian philosopher, astronomer, and writer on jurisprudence; born at Cordova, 1126; died at Morocco, 1198.

Ibn Roschd, or Averroes, as he was called by the Latins, was educated in his native city, where his father and grandfather had held the office of cadi (judge in civil affairs) and had played an important part in the political history of Andalusia.
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Limericks on Averroes

Limericks on Averroism

Ibn Rushd (Averroes) (1126—1198)

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Havil, Julian (Autor)
Stern, Manfred (Übersetzer)
Verblüfft?!
Mathematische Beweise unglaublicher Ideen

Der Autor stellt in dem Buch mathematische Aussagen vor, die paradox erscheinen und dennoch beweisbar sind. Er analysiert die Aussagen eingehend und wendet elementare Methoden der Kombinatorik, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik, Geometrie und Analysis an.

Das Buch stellt eine Reihe scheinbar paradoxer mathematischer Aussagen und deren Beweise vor. Sie kommen aus verschiedenen Bereichen der Mathematik, darunter das Geburtstagsparadoxon, Conways Chequerboard-Armee und Torricellis Trompete. Angewendet werden elementare Methoden der Kombinatorik, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik, Geometrie und Analysis. Zahlreiche Abbildungen und Tabellen illustrieren die Fragen und die wesentlichen Schritte zu ihrer Lösung. Das Buch ist für mathematisch Interessierte mit Oberstufenkenntnissen verständlich. Gegenstand des Buches ist die Lösung einer Reihe von überraschenden mathematischen Aussagen, die leicht zu formulieren sind, die man kaum glaubt (weil sie paradox erscheinen), aber dennoch beweisen kann. Dabei werden elementare Methoden der Kombinatorik, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik, Geometrie und Analysis angewendet werden. Das Ziel des Buches besteht darin, dem mathematisch interessierten Leser eine Reihe von kontraintuitiven Aussagen vorzuführen und eingehend zu analysieren. Diese Paradoxa kommen aus verschiedenen Bereichen der Mathematik, wobei jedoch Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik überwiegen. Behandelt werden u.a. das Geburtstagsparadoxon, Conways Chequerboard-Armee, Torricellis Trompete, nichttransitive Effekte, Verfolgungsprobleme, Parrondo-Spiele, Freitag, der 13., und Fractran. Der Autor baut in jedem Kapitel rund um das jeweilige Paradoxon einen Spannungsbogen auf, der sich im Laufe des Kapitels auf überraschende Weise löst. Zahlreiche Abbildungen und Tabellen illustrieren die Problemstellungen und die wesentlichen Lösungsschritte. Das Buch ist so angelegt, dass es für mathematisch Interessierte mit Oberstufenkenntnissen zugänglich ist.

Der Autor war dreißig Jahre als Mathematikdozent am renommierten Winchester College tätig.

2012, 186 Seiten, Maße: 15,4 x 23,8 cm, Kartoniert (TB), Deutsch, Übersetzung: Stern, Manfred, Verlag: Springer Berlin, ISBN-10: 3642323189, ISBN-13: 9783642323188

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Heintz, Bettina (Autor)
Die Innenwelt der Mathematik
Zur Kultur und Praxis einer beweisenden Disziplin
(Ästhetik und Naturwissenschaften / Bildende Wissenschaften - Zivilisierung der Kulturen)

Kurzbeschreibung
Zeitgerecht zum "Internationalen Jahr der Mathematik 2000" vermittelt dieses Buch einen Einblick in die faszinierende Welt der Mathematik. Die Mathematik ist die strengste, aber gleichzeitig auch die rätselhafteste aller Disziplinen. Sie verbindet, was in der Regel als Gegensatz wahrgenommen wird: Wissenschaft und Kunst, Beweis und Experiment, Formalisierung und Kreativität. Auf der Grundlage einer Feldstudie in einem internationalen Mathematikinstitut untersucht die Autorin die wissenschaftliche Arbeit und das kulturelle Selbstverständnis der Mathematiker. Ausgehend von Erkenntnissen der Wissenschaftssoziologie und Mathematikphilosophie beschreibt sie den Prozess der mathematischen Entdeckung und zeigt auf, über welche Verfahren Mathematiker Einigung erzielen. Ein höchst spannendes Buch für Mathematiker, Soziologen und Wissenschaftsphilosophen.

UMSCHLAGTEXT:
Das vorliegende Buch ist die erste wissenschaftssoziologische Studie, die sich der Kultur der Mathematik von innen her nähert. Auf der Grundlage einer Feldstudie und ausführlichen Interviews untersucht Bettina Heintz die epistemischen Praktiken und das kulturelle Selbstverständnis der Mathematiker.

Beschreibung
Zeitgerecht zum "Internationalen Jahr der Mathematik 2000" vermittelt dieses Buch einen Einblick in die faszinierende Welt der Mathematik. Die Mathematik ist die strengste, aber gleichzeitig auch die rätselhafteste aller Disziplinen. Sie verbindet, was in der Regel als Gegensatz wahrgenommen wird: Wissenschaft und Kunst, Beweis und Experiment, Formalisierung und Kreativität.
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Mir kreist der Hut
Was ist denn das für ein Standpunkt, den Mathematiker vertreten? Bettina Heintz klärt auf

Ein Ingenieur, ein Physiker und ein Mathematiker fahren mit der Eisenbahn durch eine ihnen bisher unbekannte Gegend. Auf einer Weide sehen sie zwei schwarze Schafe. Sagt der Ingenieur: "Hier sind alle Schafe schwarz." Sagt der Physiker: "Hier gibt es wenigstens zwei schwarze Schafe." Sagt der Mathematiker: "Hier gibt es wenigstens zwei Schafe, die auf einer Seite schwarz sind."
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Die Mathematik hat sich im Laufe der Jahrhunderte gewandelt. Ursprünglich umfasste sie auch das, was heute Physik oder Astronomie genannt wird. Nicht umsonst trägt Newtons Hauptwerk den Titel "Philosophiae naturalis principia mathematica". Erst im neunzehnten Jahrhundert wurde die eigentliche, die exakte Mathematik geschaffen, die heutigen Ansprüchen an die Rigorosität genügt. Dabei waren einige Bauernopfer vonnöten.
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Was Reine Mathematik ist, dafür gibt es viele Definitionen. Sagen wir einfach, Reine Mathematik ist Mathematik, die um ihrer selbst willen betrieben wird und vielleicht auch anwendbar ist, aber sich nicht durch Anwendungen rechtfertigt.
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Lakatos, Imre (Autor)
Worrall, John (Autor)
Zehar, Elie (Autor)
Beweise und Widerlegungen
Die Logik mathematischer Entdeckungen

Suchen: Imre Lakatos

• Imre Lakatos (1922-1974), britischer Wissenschaftslogiker ungarischer Herkunft. Er war Professor der Philosophie in London und entwickelte den Falsifikationismus Karl Poppers weiter. Lakatos wurde am 9. November 1922 in Budapest geboren. In seinem zentralen Beitrag zur Wissenschaftstheorie, Falsifikation und die Met... - Gefunden auf http://www.enzyklo.de/lokal/40014
• Imre Lakatos (* 9. November 1922 in Debrecen, Ungarn; † 2. Februar 1974 in London, England) war ein ungarischer Mathematiker, Physiker und Wissenschaftstheoretiker. - Gefunden auf http://de.wikipedia.org/wiki/Imre_Lakato
• Literatur: mit Musgrave, Alan Kritik und Erkenntnisfortschritt. Beweise und Widerlegungen (Proofs and Refutations) Zur Person Imre Lakatos (1922 - 1974). Der Philosoph Imre Lakatos war Professor in London. Er hat an Poppers wissenschaftstheoretisc... - Gefunden auf http://hyperkommunikation.ch/personen/la
• britischer Wissenschaftstheoretiker ungarischer Herkunft, * 9. 11. 1922, † 2. 2. 1974 London; arbeitete insbesondere über die Philosophie der Mathematik. Beeinflusst durch die Wissenschaftstheorie K. R. Poppers , vertrat er die Ansicht, dass die Entwicklung d... - Gefunden auf http://www.enzyklo.de/lokal/42303

Imre Lakatos: Beweise und Widerlegungen
D-GESS-Kreditarbeit von Frank Meier
1. Februar 2004
Inhaltsverzeichnis

• 1 Einleitung 1
• 2 Zusammenfassung und Würdigung des Buches 2
• 3 Anwendung 4
• Literatur 6
• Dank 6

Geschichte der Mathematik im 19. Jahrhundert
Imre Lakatos - Beweise und Widerlegungen
...

Beweise und Widerlegungen
die Logik mathematischer Entdeckungen
Imre Lakatos ; herausgegeben von John Worrall und Elie Zahar
Published 1979 by Vieweg in Braunschweig.
Written in German.

"§"
Naas, Josef (Autor)
Tutschke, Wolfgang (Autor)
Große Sätze und schöne Beweise der Mathematik
Identität des Schönen, Allgemeinen, Anwendbaren

Kurzbeschreibung

Es ist eine Binsenweisheit, dass in allen Wissenschaften - also auch in der Mathematik - eine zunehmende Spezialisierung stattfindet. Insbesondere die Beweismethoden und fundamentalen Sätze sind von einer Allgemeingültigkeit, die jedoch angesichts der modernen Entwicklung in Vergessenheit zu geraten droht. Das Anliegen der Autoren dieses Bandes ist es, dieser Tendenz entgegenzuwirken.

In 15 Kapiteln präsentieren sie zentrale mathematische Problemstellungen aus verschiedenen Zweigen der Mathematik und ihrer Anwendungen: Von der Methode der kleinsten Quadrate über das Einsteinsche Additionstheorem bis zur Lösung von Anfangswertproblemen reicht das Spektrum.

Außerdem enthält das Buch einen Dialog über Mathematik, der Bemerkungen über das Wesen der heutigen Mathematik und daraus resultierende Konsequenzen zum Gegenstand hat.

Aufgrund der Zeitlosigkeit der Thematik wurde diese zweite Auflage im Wesentlichen nur von Druckfehlern bereinigt.

Autorenportrait

Dr. Josef Naas hatte eine Professur für Mathematik in der Akademie der Wissenschaften in Berlin inne.

Dr. Wolfgang Tutschke bekleidet eine Professur für Mathematik an der Technischen Universität Graz.

"§"
Schöning, Uwe (Autor)
Kestler, Hans A. (Autor)
Mathe-Toolbox
Mathematische Notationen, Grundbegriffe und Beweismethoden

Buch | Softcover
160 Seiten
2015 | 3., überarbeitete Auflage
Lehmanns Media (Verlag)
Verlagsort: Berlin
Sprache: deutsch
Maße: 170 x 240 mm
Gewicht: 384 g
Einbandart: kartoniert
ISBN-13: 978-3-86541-799-2 / 9783865417992

Der größte Stolperstein in den ersten Semestern eines Informatik- oder Ingenieur­studiums ist für viele Studienanfänger die Mathematik.

Die zunächst ungewohnte mathematische Notation sowie die konsequente Art, eine Behauptung durch einen Beweis zu begründen, stellt sich oft wie ein Eintreten in eine neue, bisher nicht bekannte Welt dar.

Hier will dieser Leitfaden helfen und die Studierenden während der ersten Semester begleiten.

Die Darstellung orientiert sich an den Grundbedürfnissen der neuen Bachelor/Master-Studiengänge und schlägt eine Brücke quer über die eigentlichen Fachvorlesungen.

Insbesondere soll es die Quervernetzung des Wissens - in Bezug auf spezifische Informatikthemen - erleichtern.

Prof. Dr. Uwe Schöning ist Leiter der Abteilung Theoretische Informatik der Universität Ulm.

Inhaltsverzeichnis

• 1 Mathematische Notationen und Grundbegriffe 9
• 1.1 Definition-Satz-Beweis, mathematische Terminologie 10
• 1.2 Mengen 12
• 1.3 Mengensysteme, Potenzmenge 16
• 1.4 Folgen 17
• 1.5 Kartesisches Produkt 21
• 1.6 Summen und Produkte 22
• 1.7 Matrizen und Skalarprodukt 24
• 1.8 Algebraische Strukturen, axiomatische Definitionen 27
• 1.9 Induktive Definitionen 31
• 1.10 Relationen 33
• 1.11 Funktionen 37
• 1.12 Strukturerhaltende Abbildungen 42
• 1.13 Abzählbar, überabzählbar 43
• 1.14 Wahrscheinlichkeit 45
• 1.15 Logische Operationen 53
• 1.16 Quantoren 57
• 1.17 Normalformen 61
• 1.18 Fast alle, unendlich viele, O-Notation 62
• 1.19 Gleichmäßig, nicht-gleichmäßig 63
• 2 Über den Umgang mit mathematischen Notationen 65
• 2.1 Infix, Präfix, Postfix 65
• 2.2 Funktionswert vs. Funktion, A-Notation 67
• 2.3 Syntax und Semantik, Metasprache und Objektsprache 69
• 2.4 Paradoxien, Gödel und Russell 71
• 3 Grundlegende Beweistechniken 75
• 3.1 Axiome, Kalküle, Beweise 76
• 3.2 Direkter Beweis, „Definition Chasing" 77
• 3.3 Fallunterscheidungen 79
• 3.4 Implikation, Äquivalenz, Ringschluss 80
• 3.5 Indirekter Beweis, Beweis durch Widerspruch 82
• 3.6 Es genügt zu zeigen", Verschärfung und Abschwächung 88
• 3.7 „Ohne Beschränkung der Allgemeinheit" 89
• 3.8 Existenz und Eindeutigkeit 90
• 3.9 Effizient und effektiv 91
• 3.10 Induktion 92
• 3.11 Strukturelle Induktion 97
• 3.12 Induktion als Konstruktionsprinzip 98
• 3.13 Beweistechnischer Umgang mit Quantoren, Skolem-Funktionen .... 101
• 4 Fortgeschrittene Beweistechniken 105
• 4.1 Korrektheitsbeweise von Algorithmen, Schleifeninvariante 105
• 4.2 Terminationsbeweise 108
• 4.3 Schubfachprinzip und Anzahlargumente 114
• 4.4 Inklusion - Exklusion 116
• 4.5 Doppeltes Zählen 118
• 4.6 Diagonalisierung 120
• 4.7 Beweis durch Lineare Algebra 122
• 4.8 Beweismethode „Polynomifizierung" 123
• 4.9 Informationstheoretische Argumente 126
• 4.10 Erzeugende Funktionen, Funktionaltransformationen 129
• 4.11 Indikator-Zufallsvariablen 135
• 4.12 Probabilistische Existenzbeweise 138
• 4.13 NP-Vollständigkeitsbeweise und Unentscheidbarkeitsbeweise mittels Reduktion 142
• Symbolverzeichnis 147
• Griechische, hebräische und altdeutsche Buchstaben 148
• Literatur 149
• Index 154